Náhodná procházka

Autor: MILAN

Představte si, že se procházíte parkem, ale nemáte konkrétní cíl a rozhodujete se náhodně, kterým směrem půjdete. Tato situace je podobná konceptu náhodné procházky. Náhodná procházka je matematický koncept, který popisuje cestu tvořenou sérií kroků, kde každý krok je náhodně určen. Tento koncept má řadu aplikací v různých oblastech, včetně fyziky, ekonomie, informatiky a biologie. Začneme tím, že se podíváme na nejjednodušší případ - náhodnou procházku v jednom rozměru (tj. po přímce).

Náhodná procházka v jednom rozměru

Představte si, že jste na přímce a každý krok, který uděláte, je buď dopředu nebo dozadu. Pravděpodobnost toho, kterým směrem půjdete, je stejná - 50% dopředu a 50% dozadu. Vaše poloha po několika krocích je tedy výsledkem náhodné série kroků dopředu a dozadu. To je základní příklad jednorozměrné náhodné procházky.

Náhodná procházka ve dvou rozměrech

Nyní se podívejme na komplikovanější případ - náhodnou procházku ve dvou rozměrech. Představte si, že se nacházíte na mřížce, kde každý bod mřížky reprezentuje možnou pozici. Každý krok může být buď nahoru, dolů, doprava nebo doleva a všechny směry jsou opět stejně pravděpodobné. Vaše cesta je potom série těchto náhodných kroků.

Vlastnosti náhodné procházky

Existuje několik zajímavých vlastností náhodných procházek:

1. Bezpaměťový proces: Každý krok v náhodné procházce je nezávislý na předchozích krocích. To znamená, že "budoucnost" procházky nezávisí na "minulosti". To je důvod, proč se náhodná procházka nazývá "bezpaměťový" proces.

2. Střední hodnota a rozptyl: V jednorozměrné náhodné procházce se střední hodnota (tj. očekávaná poloha po několika krocích) nemění - je stále nula, pokud je výchozí bod definován jako nula. Avšak rozptyl (což je míra variability polohy) se zvyšuje s počtem kroků. To znamená, že i když očekáváme, že se nacházíme na výchozím bodě, jsme stále méně jisti, kde skutečně budeme.

Zajímavostí může být také, že náhodná procházka je spojena s některými základními koncepty teorie pravděpodobnosti. Například centrální limitní věta, jedna z klíčových vět teorie pravděpodobnosti, může být ilustrována pomocí náhodné procházky. Tato věta říká, že suma velkého počtu náhodných proměnných má rozdělení, které se blíží normálnímu rozdělení, což je přesně to, co vidíme, když se podíváme na součet mnoha kroků v náhodné procházce.

Příklad 1.

Podívejme se na konkrétní příklad jednoduché náhodné procházky v jednom rozměru Mějme náhodnou procházku, která začíná v bodě 0. Každý krok je +1 nebo -1 s pravděpodobností 1/2. Procházka se skládá z 10 kroků. Jaká je pravděpodobnost, že procházka skončí v bodě 2? Pravděpodobnost, že procházka skončí v bodě 2, je dána počtem cest, které vedou do bodu 2, děleno celkovým počtem cest. Po 10 krocích může být procházka na jednom z 11 míst (-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10). Tohle je možná trochu matoucí, ale vysvětlím. Představte si, že stojíte na startovní čáře a máte před sebou cestu, kde můžete udělat kroky vpřed nebo vzad. Každý krok vpřed posune vaši pozici o +1 a každý krok vzad o -1. Začínáte na pozici 0. Pokud uděláte 10 kroků dopředu a žádný vzad, skončíte na pozici +10. Naopak, pokud uděláte 10 kroků vzad a žádný dopředu, skončíte na pozici -10. Mezi těmito dvěma extrémy je mnoho různých kombinací kroků dopředu a dozadu, které mohou vést k různým konečným pozicím. Jelikož jste omezeni 10 kroky, nemůžete skončit dále než 10 kroků od startovní čáry v kterémkoli směru. To znamená, že vaše konečná pozice musí být někde mezi -10 a +10. Dále platí, že vždy musíte skončit na nějakém sudém místě. Důvodem je, že každý krok dopředu (+1) může být vyvážen krokem dozadu (-1) a naopak. Krok dopředu a krok dozadu vás vrátí zpět na stejné místo, takže po sudém počtu kroků musíte skončit na nějakém sudém místě. Když se tedy podíváme na všechna sudá místa mezi -10 a +10, dostaneme 11 možností: -10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10. To jsou všechna místa, kde byste mohli skončit po 10 krocích.

Počet cest, které vedou do bodu 2, je určen binomickým koeficientem. Konkrétně, musíme vybrat 6 kroků z 10 tak, aby byly kroky "dopředu", protože potřebujeme o 2 více kroků dopředu než dozadu, aby procházka skončila v bodě 2.

Binomický koeficient je určen vztahem: C(n, k) = n! / [k!(n-k)!] kde n! je faktoriál n (n*(n-1)(n-2)...32*1), a C(n, k) vyjadřuje počet možných kombinací k položek z n.

Takže počet cest do bodu 2 je C(10, 6) = 10! / [6!(10-6)!] = 210. Celkový počet cest je 2^10 = 1024, protože každý z 10 kroků může být buď dopředu nebo dozadu. 

Takže pravděpodobnost, že procházka skončí v bodě 2, je 210 / 1024 = 0,2051.

To znamená, že pokud provedeme tuto náhodnou procházku mnohokrát, očekáváme, že asi 20,51% z nich skončí v bodě 2.

Příklad 2.

Pojďme se nyní podívat na příklad náhodné procházky v kontextu finančního trhu. Tento koncept je často používán při modelování cen akcií a dalších finančních aktiv. Představte si, že máte akcii, která je v hodnotě 100 korun na začátku dne. Během dne se cena akcie mění podle náhodné procházky: každou minutu může cena stoupat nebo klesat o 1 korunu s pravděpodobností 1/2. Vezmeme nyní 480 minut (8 hodin obchodování). Jaká je pravděpodobnost, že na konci obchodního dne bude cena akcie 120 korun?

Chceme zjistit pravděpodobnost, že po 480 krocích (minutách) bude naše akcie o 20 korun vyšší, než když jsme začali. To znamená, že potřebujeme udělat 20 více kroků "nahoru" než "dolů". V našem případě jsou kroky nahoru zvyšování ceny o 1 korunu a kroky dolů snižování ceny o 1 korunu.

Počet "nahoru" kroků musí být tedy (480 + 20) / 2 = 250 a počet "dolů" kroků (480 - 20) / 2 = 230. Z toho vyplývá, že potřebujeme vybrat 250 "nahoru" kroků z celkových 480 kroků. Počet možných cest do +20 korun je C(480, 250), kde C(n, k) je binomický koeficient. Celkový počet možných cest je 2^480, protože každý z 480 kroků může být buď "nahoru" nebo "dolů". Takže pravděpodobnost, že na konci obchodního dne bude cena akcie 120 korun, je C(480, 250) / 2^480.

Je důležité poznamenat, že ve skutečném světě jsou ceny akcií ovlivněny mnoha faktory a nechovají se jako jednoduché náhodné procházky. Tento model je zjednodušený a je užitečný pro porozumění základním konceptům pravděpodobnosti a náhodné procházky.

Příklad 3.

Nyní si ukážeme zjednodušený model šíření viru v populaci. Chceme zjistit, kolik lidí v průměru nakazí jedna nakažená osoba během náhodné procházky po městě. V tomto modelu předpokládejme, že když nakažená osoba potká zdravou osobu, je 10% šance, že dojde k přenosu viru. V našem modelu města je město rozděleno na bloky, každý blok má určité množství lidí a nakažená osoba se pohybuje náhodně z bloku do bloku.

Kdybychom to chtěli řešit opravdu na maximálně vědecké úrovni, je to komplexní problém, který vyžaduje pokročilé statistické a pravděpodobnostní techniky. Ve skutečnosti, toto je typ problému, který řeší epidemiologové při modelování šíření nemocí.

Jedním z klíčových parametrů v těchto modelech je reprodukční číslo (R0), které označuje průměrný počet lidí, které nakažená osoba nakazí. Tento parametr se vypočítává na základě pravděpodobnosti přenosu viru, hustoty populace a vzorců pohybu lidí, které mohou být modelovány jako náhodná procházka. Navíc, pokud zahrneme časové proměnné, například jak se chování lidí mění v čase (například kvůli karanténě nebo sociálnímu distancování), můžeme modelovat šíření viru jako náhodnou procházku s časem závislými pravděpodobnostmi. Ve skutečnosti, tento typ modelu je mnohem složitější než základní náhodná procházka. Je třeba používat nástroje,  jako je Markovův řetězec Monte Carlo (MCMC) a další metody pro analýzu složitých datových sad.

Ale my si to trochu zjednodušíme a spočítáme, abyste věděli, jak se takové problematiky řeší. Principově to není naprosto odlišné, jen model okleštíme o řadu skutečností.

Představme si, že na začátku máme jednu nakaženou osobu. Tato osoba se bude pohybovat po městě, které je reprezentováno jako mřížka 10 x 10 bloků. Na začátku je v každém bloku 100 osob. Pravděpodobnost přenosu viru, pokud nakažená osoba potká zdravou osobu, je tedy 10 %. V tomto modelu budeme předpokládat, že se každý den nakažená osoba pohne do náhodného sousedního bloku (nahoru, dolů, vlevo nebo vpravo, s rovnoměrnou pravděpodobností) a potká 10 náhodných lidí. Pokud nakažená osoba potká zdravou osobu, existuje 10% šance na přenos viru.

Pokračování brzy:)