Hoeffdingova nerovnost
Autor: MILAN
Hoeffdingova nerovnost je matematický koncept, který se používá v teorii pravděpodobnosti a statistice. Je to matematický způsob, jak říci: "Ať se děje cokoli, skutečnost nebude příliš vzdálená od toho, co očekáváme".
Představte si, že jste učitel a máte třídu s 30 studenty. Každý student napsal test a vy jste jim dal skóre od 1 do 10. Nyní chcete vypočítat průměrné skóre. Předpokládejte, že očekáváte, že průměrné skóre bude kolem 6. Ale jak můžete být jisti, že průměrné skóre nebude třeba 2 nebo 9? Jaký je rozsah hodnot, který by průměrné skóre mohlo mít?
Tady přichází Hoeffdingova nerovnost. Tato nerovnost nám umožňuje odhadnout, jak moc se skutečný průměr může lišit od očekávaného průměru. A co je ještě lepší, Hoeffdingova nerovnost nám dává konkrétní číslo, které nám říká, jak moc může skutečný průměr překročit očekávaný průměr.
Takže pokud očekáváte průměrné skóre 6, Hoeffdingova nerovnost vám může říci, že je velmi malá šance, že skutečný průměr bude větší než 8 nebo menší než 4 (předpokládejme, že tato čísla jsou jen ilustrativní).
Hoeffdingova nerovnost je velmi silná, protože funguje pro jakékoliv rozdělení pravděpodobnosti. To znamená, že funguje i když nevíme, jaké jsou skutečné pravděpodobnosti skóre - může to být jakékoli skóre od 1 do 10 s jakoukoliv pravděpodobností. Samozřejmě, Hoeffdingova nerovnost je matematický koncept a vyžaduje nějaké matematické výpočty pro získání konkrétních čísel. Ale hlavní myšlenkou je, že nám dává způsob, jak odhadnout, jak moc se skutečnost může lišit od očekávání.
Hoeffdingova nerovnost je mimořádně užitečná pro studenty pracující na svých diplomových pracích, a to zejména ve výzkumných oblastech, kde je třeba se vyrovnat s nejistotou a pravděpodobností.
Zde jsou některé příklady, jak by mohla být Hoeffdingova nerovnost použita v diplomové práci. Představte si, že pracujete na projektu, který zahrnuje sběr dat a následný výpočet průměru. Nejste si jisti, jak přesný je váš odhad, protože pracujete pouze s omezeným vzorkem dat. Hoeffdingova nerovnost vám může pomoci odhadnout maximální možnou chybu ve vašem výpočtu průměru. Také při testování hypotéz může být Hoeffdingova nerovnost užitečná pro určení toho, jak moc se výsledky mohou lišit, pokud by byl experiment opakován. To může studentům pomoci určit, zda jsou jeho výsledky statisticky významné. Při porovnávání účinnosti dvou různých modelů nebo algoritmů může být Hoeffdingova nerovnost použita k určení, jak moc se průměrné výsledky mohou lišit v důsledku náhodnosti (často používané). Ve výpočetní biologii a bioinformatice, kde se často pracuje s velkými datovými sadami, může Hoeffdingova nerovnost pomoci odhadnout možné chyby při výpočtu průměrných hodnot nebo dalších statistik.
Pojďme se na to podívat trochu matematicky. Někoho to asi zabolí, ale jen malinko. Předpokládejme, že máme náhodné proměnné X1, X2, ..., Xn, které jsou nezávislé a identicky rozdělené (iid) a jejichž očekávaná hodnota je E[Xi] = μ. Navíc předpokládejme, že pro každé i, Xi je omezené na intervalu [ai, bi].
Potom pro každé ε > 0 platí
P(|(1/n) Σ(Xi - μ)| >= ε) <= 2 exp(-2nε^2 / Σ(bi - ai)^2 ).
Pojďme to rozebrat krok po kroku:
X1, X2, ..., Xn jsou naše náhodné proměnné. Můžete si je představit jako skóre každého studenta v třídě. Každé Xi je jedno skóre.
E[Xi] = μ je očekávaná hodnota našich náhodných proměnných. To je průměrné skóre, které očekáváme.
(1/n) Σ(Xi - μ) je průměrná hodnota rozdílu mezi skutečným skóre a očekávaným skóre. To je to, co chceme odhadnout.
P(|(1/n) Σ(Xi - μ)| >= ε) je pravděpodobnost, že průměrná hodnota rozdílu mezi skutečným skóre a očekávaným skóre je větší nebo rovna ε.
Σ(bi - ai)^2 je součet druhých mocnin rozdílu mezi horním a dolním limitem každé náhodné proměnné.
exp(-2nε^2 / Σ(bi - ai)^2 ) je exponenciální funkce, která nám dává horní limit pravděpodobnosti, že průměrná hodnota rozdílu mezi skutečným skóre a očekávaným skóre je větší nebo rovna ε.
Hoeffdingova nerovnost nám tedy říká, že pravděpodobnost, že skutečný průměr se bude významně lišit od očekávaného průměru, je velmi malá, a tato pravděpodobnost klesá exponenciálně s počtem náhodných proměnných (tj. s počtem studentů v našem příkladu).
Příklad 1:
Představme si, že jste manažer velkého e-commerce obchodu a chcete zjistit, jak spokojeni jsou zákazníci s vaším zbožím. Nicméně máte miliony zákazníků a nemůžete se zeptat každého z nich. Místo toho se rozhodnete udělat náhodný výběr 1 000 zákazníků a zeptat se jich, zda jsou spokojeni s vaším zbožím. Zjistíte, že 600 z těchto zákazníků jsou spokojeni.
Nyní chcete vědět, jak přesně tato hodnota 600 z 1 000 reprezentuje celkovou spokojenost zákazníků v e-shopu. Můžeme považovat každého zákazníka, kterého jsme se zeptali, za náhodnou proměnnou Xi s hodnotou 1, pokud je zákazník spokojen, a 0, pokud není. Očekávaná hodnota μ těchto proměnných je pravděpodobnost, že náhodně vybraný zákazník je spokojen.
Hoeffdingova nerovnost nám pak může pomoci odhadnout, jak moc se skutečná pravděpodobnost, že náhodně vybraný zákazník je spokojen, může lišit od našeho odhadu 0,6 založeného na výběru 1 000 zákazníků.
Pokud bychom chtěli využít Hoeffdingovy nerovnosti k výpočtu, mohli bychom ji použít takto:
V našem případě, X_i jsou náhodné proměnné reprezentující spokojenost každého zákazníka (1 pokud je spokojen, 0 pokud ne), a_i a b_i jsou 0 a 1 (jelikož hodnoty X_i jsou buď 0 nebo 1), n je počet zákazníků v našem vzorku (tj. 1000) a ε je hodnota, kterou chceme určit.
Máme odhad průměrné spokojenosti μ jako 0,6 a chceme zjistit, jak moc se skutečná pravděpodobnost může lišit od tohoto odhadu s 95% jistotou. To znamená, že chceme najít ε tak, aby platilo:
P(|(1/n) Σ(Xi - μ)| >= ε) <= 0,05
Podle Hoeffdingovy nerovnosti to znamená, že hledáme ε tak, aby platilo:
2 exp(-2nε^2 / Σ(bi - ai)^2 ) <= 0,05
V našem případě, Σ(bi - ai)^2 je rovno 1000, takže hledáme ε tak, aby platilo:
2 exp(-2 * 1000 * ε^2) <= 0,05.
Tuto nerovnost můžeme vyřešit pro ε pomocí logaritmu a kvadratické rovnice. Výsledný ε nám pak řekne, jak moc se skutečná pravděpodobnost může lišit od našeho odhadu s 95% jistotou.
Naše nerovnost je:
2 exp(-2 * 1000 * ε^2) <= 0,05.
Nejdříve se zbavíme faktoru 2 na levé straně dělením obou stran dvěma:
exp(-2000 * ε^2) <= 0,025
Pak vezmeme přirozený logaritmus (ln) na obou stranách nerovnosti, což nám dá:
-2000 * ε^2 <= ln(0,025)
Pak vydělíme obě strany -2000. Pamatujte, že když dělíme nerovnost záporným číslem, musíme otáčet nerovnost, takže dostáváme:
ε^2 >= -ln(0,025) / 2000.
A nakonec vezmeme druhou odmocninu na obou stranách, což nám dá:
ε >= sqrt(-ln(0,025) / 2000).
Pokud si spočítáme hodnotu na pravé straně, dostaneme hodnotu pro ε. Tato hodnota ε pak udává, jak moc se skutečná pravděpodobnost může lišit od našeho odhadu 0,6 s 95% jistotou.
Samozřejmě, můžeme také vyřešit pro ε na levé straně nerovnosti, což by nám dalo horní mez pro ε. To by nám pak dal interval, ve kterém se skutečná pravděpodobnost může nacházet s 95% jistotou.
ε >= sqrt(-ln(0,025) / 2000) ≈ 0,034.
Toto číslo nám říká, jak moc se skutečná pravděpodobnost, že náhodně vybraný zákazník je spokojen, může lišit od našeho odhadu 0,6 s 95% jistotou. Jinými slovy, s 95% jistotou můžeme říct, že skutečná pravděpodobnost leží někde mezi 0,6 - 0,034 a 0,6 + 0,034, tedy mezi 0,566 a 0,634.
V kontextu našeho e-commerce obchodu to znamená, že i když se náš náhodný vzorek 1 000 zákazníků může lišit od celkové populace zákazníků, můžeme s 95% jistotou říci, že skutečná pravděpodobnost, že náhodně vybraný zákazník je spokojen, leží mezi 56,6% a 63,4%.
Toto je velmi užitečný nástroj pro odhadování skutečných hodnot na základě omezeného vzorku dat. Umožňuje nám kvantifikovat nejistotu spojenou s naším odhadem a udávat intervaly, ve kterých se skutečné hodnoty pravděpodobně nacházejí.
Samozřejmě, tohle by se v diplomce asi nechtělo nikomu počítat. Naštěstí, jako vždy, je možné, aby to za vás/nás spočítal software.
Pokračování brzy:)